6666
ISSN 2477-9105
Número 30 Vol.1 (2023)
DOI: https://doi.org/10.47187/perf.v1i30.244
MODELIZACIÓN MATEMÁTICA DE TIEMPOS DE VIAJE DEL
SISTEMA TROLEBÚS
¹ Escuela Superior Politécnica de Chimborazo, Facultad de Ciencias, Riobamba, Ecuador.
² Universidad Técnica de Manabí, Facultad de Ciencias Básicas, Portoviejo, Ecuador.
* alexpozofima93@gmail.com
que abarca las avenidas Maldonado, 10 de agosto y Galo Plaza Lasso, las cuales son transitadas por el
Se asumió una trayectoria horizontal y recta, suponiendo que todos los semáforos permanecían en
avenues Maldonado, 10 de Agosto and Galo Plaza Lasso, which are transited by the integrated Trolleybus
which covers a 10-kilometer stretch of the 22.5 kilometers of the total 22.5 kilometers of the route.
RESUMEN
Fecha de recepción: 25-06-2023 · Fecha de aceptación: 29-10-2023 · Fecha de Publicación: 29-12-2023 DOI: https://doi.org/10.47187/perf.v1i30.244
ISSN 2477-9105
Mathemacal modeling of travel mes in trolleybus system
² Leonardo David García Medina
iD
iD
Palabras Clave:
ABSTRACT
6767
MODELIZACIÓN MATEMÁTICA DE TIEMPOS DE
VIAJE DEL SISTEMA TROLEBÚS
Pozo, García.
Keywords:
El
un notable crecimiento debido, por un lado, a su
amplia aplicabilidad en diversas disciplinas, que
ingeniería y la biología. Por otro lado, su relevancia
donde exige un profundo conocimiento en áreas
como el análisis real, el análisis funcional y la
teoría de la probabilidad, entre otros.
Inicialmente, esta teoría se basó en los principios
emergentes en campos como la economía
controles y las trayectorias correspondientes
que conducen a límites en
siendo el control de viaje de un vehículo un caso
registrada por el velocímetro, se retroalimenta y
una velocidad demasiado baja o desacelerar en
Por otro lado, la relevancia de este estudio reside
mundo enfocado cada vez más en la movilidad
integrados se convierte en una prioridad
creciente literatura en este campo y presenta
cuenta factores como la velocidad máxima
la distancia entre paradas y la sincronización del
I. INTRODUCCIÓN
cuando se aproximan.
Este trabajo se relaciona directamente con los
el consumo eléctrico de vehículos con motores
eléctricos o híbridos. Los resultados obtenidos
comprensión y la resolución de problemas de
control de vehículos, lo que complementa y
enriquece nuestro enfoque en la mejora del
Los resultados obtenidos no solo son de gran
potencial de mejorar la experiencia de los usuarios
las emisiones de carbono en áreas urbanas. En
los sistemas de trolebuses integrados, con
urbana sostenible en la actualidad.
II. MATERIALES Y MÉTODOS
• Materiales.
siguientes materiales:
• Python –
paquete GEKKO.
•
6868
ISSN 2477-9105
Número 30 Vol.1 (2023)
DOI: https://doi.org/10.47187/perf.v1i30.244
m
entonces se arriba a la ecuación diferencial
Fn
x
t [T,T]
t [T,T]
t [T,T]
[T,T]
t
x
= x
= u + u
= +
0 01 0
0 10 1
utt
utt
xtA,
xt0,
xtfB,
xtf0,
FaFd ,+
Figura. 1.
Una vez escogidas las posición y la velocidad
como variables de estado, tenemos el siguiente
sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias
donde x C¹,T
entre paradas. Luego, realizando la siguiente
Resultando así el siguiente sistema de ecuaciones
cabe notar que las funciones u y u
matricial se expresa como
Donde x C¹,T [,R²u es un control
Restricciones sicas
desplazamiento desde la parada A y se
T = t
parada A y T = tf
parada B, entonces se sigue que
consiguiente
• Metodología.
separados por una distancia conocida, en los
normalmente a la distancia entre dos paradas
sucesivas, así, la velocidad impuesta es igual a
La formalización de este problema se puede hacer
usando la siguiente descripción y restricciones
Ecuación dinámica
y es conducido por la vía hasta la parada B donde
queda nuevamente en reposo. Por la Segunda
Ley de Newton, la fuerza neta Fn aplicada al
Fa debida
a la aceleración dada al presionar el acelerador y
con la fuerza Fd provocada por la desaceleración
mediante el sistema de frenos, con lo cual se
6969
MODELIZACIÓN MATEMÁTICA DE TIEMPOS DE
VIAJE DEL SISTEMA TROLEBÚS
Pozo, García.
0 ≤ A
0 ≤
≤ B,
≤ 40,
t
t
≤ x
x
= B > 0f =, ,+
A B
0 0
Colocando en notación matricial las expresiones
, , y obtenemos las condiciones
de frontera
Teniendo en conocimiento que la aceleración
que depende de la capacidad del motor, y que
la máxima desaceleración es limitada por los
parámetros del sistema de frenado. Expresamos
por M0 la aceleración máxima y con M0 a
la desaceleración máxima, entonces los controles
uu
problema está asociado a la función de coste J
tf
al momento de completar el segmento de la vía
que hay entre las paradas A y B y t representa
parada A.
x, x ]
Δt
control u L [t,tf]
Δt
Existencia y unicidad
Para mostrar que existe la función u tal que
minimice a la función de coste J se debe probar
que el problema
sigue siendo realista y no produce una velocidad
reales.
Modelo de control ópmo
Puesto que existen condiciones terminales tanto
1. La velocidad y la distancia se consideran
como estados del sistema mientras que
de esta forma, se impone que los estados
que representa la longitud entre paradas
sucesivas.
2. Se contempla solamente la velocidad como
estado, y tener presente como variable
la restricción de la distancia es espontánea,
ser efectuada por separado.
lo cual nos impone las condiciones siguientes
[T,T]
≤ M,
t
0 ≤ u[T,T]
≤ 0,
=
Ju
inf
Encontrar una función u L [t,tf]
la trayectoria x asociada al sistema
minimice J
1 dt 1 dt= = =-
t
-M ≤ u[T,T
Tt
t
tt
f
f
00
T
[T,T
enfoque, a causa de que los métodos numéricos
sencilla. Por otro lado, el segundo enfoque,
representa la opción preferida, pero los métodos
numéricos para la implementación son mucho
más avanzados y requieren de herramientas
Subsiguientemente, mostramos el problema de
considerar el vector de estados x = [x,x]
+ u
Δt,
u L [t,tf]
7070
ISSN 2477-9105
Número 30 Vol.1 (2023)
DOI: https://doi.org/10.47187/perf.v1i30.244
de una condición inicialt R=[ ]
A2
0 y se desea
[ ]
B
0
Consideraremos un sistema más simple con las
mismas funcionalidades
con sgnxx . Esas condiciones
de donde se desprende que
Ahora con las condiciones iniciales xt x
t
Y así las trayectorias son por lo tanto parábolas
de eje x
Mientras que para el caso u = -u
son, por tanto, parábolas de eje -x, recorridas en
la dirección decreciente de x
y
velocidad se logra en B desde
Un cálculo elemental sobre las derivadas parciales
del hamiltoniano muestra que
Se toma en cuenta que dado que el vector
adjunto p, ppno puede
desaparecer en un intervalo, de lo contrario,
también tendríamos p -ó = 0. Aplicando el
que
obtenemos
de donde se desprende
deducimos que, en casi todas partes,
uM y -Mu0 y con la restricción
de velocidad |xmax donde vmax = 40 km/h.
ttf]x Rx Rx R
⟶ R asociado al sistema de control lineal
se expresa como
=
= +us,
= + +ut² st s,
1
2
=
x u
x
p
u
utsgnc - ct
= x
= 0
p = c,
= p
= p
p = c- ct,
x = + +xxSSSS
1 1
u2
- -
x = +- +xx
1 1
u2
- -
SSSS
x = +- x
1
tA.
Figura. 2.
7171
MODELIZACIÓN MATEMÁTICA DE TIEMPOS DE
VIAJE DEL SISTEMA TROLEBÚS
Pozo, García.
Se debe tener en cuenta que el control óptimo se
escribe como una función de retroalimentación
del estado ya que tenemos
• u = si x está por debajo de la curva de
conmutación en este caso, es necesario
acelerar.
• u = si x está por encima de esta curva en
este caso, es necesario desacelerar.
De B a C tenemos el sistema
Así vemos que el problema está determinado y
29
presenta una discontinuidad en y solamente
toma sus valores máximos, , y mínimo, . A este
tipo de control se lo denomina y se
caracteriza por tomar valores iguales a uno, es
decir, = = 1 . Por ende, el switching time y el
t* se expresan como sigue
velocidad se alcanza en el punto intermedio
entre paradas contiguas, dado que la aceleración
máxima se aplica desde el principio y se invierte
en el punto medio. Esto supone, por supuesto,
que no hay fricción ni velocidad terminal que se
pueda lograr a lo largo del camino.
Preparación del código
Se realizó la programación de un script con una
codificación destinada a establecer los perfiles
de desplazamiento, velocidad y aceleración
óptimos, tomando en cuenta la documentación
de la librería GEKKO y la teoría de control óptimo
1
Implementación del modelo
Con este modelo de control de tiempo óptimo, se
realizó las simulaciones para el perfil de velocidad,
aceleración y desplazamiento entre dos paradas
conseutivas A y B que distan en 400 2
considerando que la velocidad máxima permitida
para un articulado del trolebus es de 40
su vez se consideró que el articulado avanza en un
intervalo de tiempo [0seg
y del cual se desprende que el tiempo óptimo t es
lo que da
por lo que la trayectoria de tiempo mínimo de A
a D es A B C
podemos calcular fácilmente tf y así
29
en función de t, para la ecuación
donde se observa que el cambio de velocidad
tiene lugar en el momento switching time
Tanto la distancia, x x
continuas en , se debe tener que
Al despejar 4243
que el switching time21
=x
x=svmaxt,
=0,
x=vmax,
x
x
t
t
t
t
t*
t*
f
f
tfvmax
xxxsA A
A B
2 2
A Si
Si
f
f
B Si
Si
≤ t ≤ t*
≤ t ≤ t*
≤ t ≤ tf
≤ t ≤ tf
2
+
t2
+
2.
x1
B - A,
7272
ISSN 2477-9105
Número 30 Vol.1 (2023)
DOI: https://doi.org/10.47187/perf.v1i30.244
En la Figura 4 observamos que la velocidad del
t = O s y
esta va aumentando de forma constante en los
primeros durante hasta alcanzar la velocidad
km/h la cual
s siguientes,
para luego disminuir su velocidad hasta llegar con
tf
creciente sin presentar alteraciones durante el
trayecto entre las paradas A y B.
que detallan la información de la variable espacial
con valores de las distancias entre paradas
de la variable temporal con valores entre 0 y T > 0 .
entre la parada A y la parada B, calculados con el
durante el trayecto entre la parada Estación de
En la Figura 3 notamos que la aceleración
aceleración constante de 1/s hasta el punto de
switching, para luego disminuir la aceleración,
debido al sistema de frenado, a un valor constante
de 1/s.
III. RESULTADOS
Distancia entre para-
das en km
t en
horas
km/h
0.4 0.01
Tabla 1. t
Figura 3.
Figura 4.
Figura 5.
Tabla 2.
-
tumbe y El Labrador
Distancia entre para-
das en km t en horas
25,5 1,005
representando el tiempo total al recorrer las 75
se obtuvieron 4 gráficas:
• Gráfica del desplazamiento del articulado en
función del tiempo.
• Gráfica de la velocidad del articulado en
función del tiempo.
del articulado en función del tiempo.
• Gráfica del perfil de velocidad versus el
desplazamiento.
7373
MODELIZACIÓN MATEMÁTICA DE TIEMPOS DE
VIAJE DEL SISTEMA TROLEBÚS
Pozo, García.
seguir durante el trayecto entre dos paradas
de la parada A con una velocidad igual a cero
y conforme avanza durante los primeros 100
11,11 m/s = 40km/h para mantenerla durante
300 metros y luego disminuirla suavemente para
llegar con velocidad cero a la parada B
Figura 6.
Figura 7.
a los problemas de movilidad de pasajeros del
explicar con los resultados presentados, además
se recalca que existen variables que no fueron
consideradas en el modelo como es el caso de
resultados.
El estudio nos permite demostrar el efecto de
su estudio y a generar escenarios que permitan
de movilidad, más aun, a valorar la importancia
movilización.
IV. DISCUSIÓN
acumulado presentan una tendencia lineal
creciente, destacando que la recta obtenida
resultados obtenidos con el modelo son bastante
aceptables.
viaje, porcentaje considerable que surge de la
destacan varios estudios relevantes llevados a
mínimo en escenarios que involucran vehículos
aspectos detallados del modelo, que incluyen la
dinámica completa del chasis, los movimientos
de la suspensión, las maniobras de las ruedas,
el consumo de energía eléctrica, así como los
movimientos simultáneos de desplazamiento y
elevación de las catenarias.
7474
ISSN 2477-9105
Número 30 Vol.1 (2023)
DOI: https://doi.org/10.47187/perf.v1i30.244
Es importante destacar que el estudio de Li,
carga, los cuales deben navegar por carreteras
posible, mientras cumplen con restricciones de
aceleraciones laterales y longitudinales para
evitar el fenómeno conocido como el efecto
detallada de la complejidad intrínseca que implica
son fundamentales para comprender y abordar
campos, desde la ingeniería de vehículos hasta la
entornos complicados.
Este estudio ha proporcionado una comprensión
las bases para la formulación de estrategias a corto,
VI. REFERENCIAS
V. CONCLUSIONES
VI. AGRADECIMIENTOS
en el sistema de transporte.
En la actualidad, existen diversos modelos
que pueden integrar factores como velocidad,
aceleración y fricción en el movimiento de los
proporciona una base sólida para la toma de
y la calidad del servicio ofrecido a los pasajeros, al
Metropolitana de Transporte de Pasajeros de
de viaje en cada una de las paradas del sistema
revisores anónimos.
5. Evans LC. An introduction to mathematical optimal control theory version 0.2 [Internet].
Berkeley.edu. [citado el 29 de diciembre de 2022]. Disponible en: ht t ps : / / m at h . b e r kele y.
edu/~evans/control.course.pdf
7575
MODELIZACIÓN MATEMÁTICA DE TIEMPOS DE
VIAJE DEL SISTEMA TROLEBÚS
Pozo, García.
15. Ern A. Contrôle de modèles dynamiques [Internet]. Enpc.fr. [citado el 29 de diciembre de 2022].
pdf
2011.
