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esumen
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bstract
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INTERPOLACIÓN DE DATOS FALTANTES MEDIANTE
SPLINE CÚBICO Y MÍNIMOS CUADRADOS
S. Haro-Rivera
1*
, A. Escudero-Villa
1
Grupo de Energias Alternativas y Ambiente,
Facultad de Ciencias, Escuela Superior Politécnica de Chimborazo
1
, Riobamba-Ecuador
*e-mail: s_haro@espoch.edu.ec; Telephone: 0982752949
En la actualidad Ecuador promueve el estudio de variables meteorológicas como fuente principal
para generación de energías renovables; por ello, se han instalado diversas estaciones meteoro-
lógicas en la provincia de Chimborazo, con varios sensores que miden variables como velocidad
de viento. Los datos se registran en un dataloger y de forma automática migran a un servidor, el
mayor problema que surge es la pérdidas de datos por falta de mantenimiento permanente en las
estaciones debido a su ubicación, motivo por el cual surge la necesidad de buscar métodos de inter-
polación para la velocidad de viento que permitan realizar análisis confiables. La investigación se
basó en la interpolación por spline cúbico y mínimos cuadrados, con la finalidad de determinar el
método de mayor ajuste a los datos de velocidad de viento. Para el estudio se tomó la información
en intervalos de 10 y 60 minutos; desde 1 hasta 12 datos faltantes. Se halló diferencias significativas
en la interpolación mediante spline cúbico cuando el número de faltantes se incrementa al inicio
y final de la base de datos, mientras que con mínimos cuadrados cuando los datos faltantes se en-
cuentran dispersos.
Palabras claves: Interpolación, velocidad de viento, spline cúbico, mínimos cuadrados.
Ecuador currently encourages the study of meteorological variables as the main source for renewa-
ble energy generation; therefore, we have installed various weather stations in the Chimborazo
province, with several sensors that measure variables such as wind speed. The data are recorded in
datalogger and automatically migrate to server, the biggest problem that present is the data loss by
to lack of maintenance on the stations due to its location and arises the need to seek methods in-
terpolation wind speed that allow for reliable analysis. The research was based on the cubic spline
interpolation and least squares, in order to determine adjustment method for wind speed data. The
information for the study was taken the intervals of 10 to 60 minutes; from 1 to 12 missing data.
Significant differences in the interpolation by cubic spline was found when the number of missing
increases at the beginning and finally of the database and with least squares when missing data are
scattered.
Key words: interpolation, wind speed, spline cubic, least squares
Haro, Escudero
INTRODUCCIÓN
El viento es una fuente renovable, que
permite generar energía eólica (1) y so-
bre todo proporciona información a los sistemas de vigi-
lancia y alerta temprana; por ello es importante trabajar
con bases de datos confiables, pues es común encontrar
registros con poca duración, numerosos errores y au-
Fecha de aceptación: 20-04-2017
Fecha de recepción:14-10-2016
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sencia de datos (2), lo cual dificulta la aplicación de las
distintas técnicas estadísticas (3). Para abordar esta pro-
blemática se plantearon dos métodos de interpolación:
spline cúbico y mínimos cuadrados. La interpolación
por medio de splines cúbicos permite crear funciones de
orden superior, que aproximan los datos tomados a una
curva continua que conserva la suavidad inherente a toda
variable física (4), la ecuación 1 determina el polinomio
de interpolación (5)
(1)
con; k=0,1, 2,…,n donde n es el número de intervalos de
tiempo.
El segundo método establece la mejor curva calculando
la suma de las distancias al cuadrado entre el valor de la
función que aproxima φ(x) y el valor de la función dada
y=f(x) cuando ésta sea mínima (6). La metodología que
determina esta curva radica en el cálculo de los coeficien-
tes mediante derivadas parciales, es decir; dados los datos
{(x
i
, y
i
), con i=0,1,2,…n } donde n son los intervalos de
tiempo. Se debe determinar las funciones φ(x) tales que
satisfagan la distancia mínima dada por la ecuación 2:
(2)
El objetivo principal de la investigación es determinar las
condiciones de ajuste de los dos métodos para el relleno
de datos faltantes de velocidad de viento.
METODOLOGÍA
Para la investigación se seleccionaron dos bases de datos
de velocidad de viento discretizados (7), mismos que fue-
ron registrados en el 2014 por la estación meteorológica
de la Escuela Superior Politécnica de Chimborazo (ES-
POCH) en el 2014, ubicada a 2754 m.s.n.m., 9816965Y y
758398X. Se trabajó con los promedios cada 10 y 60 min,
se tomaron cuatro días (8, 10, 13 y 20 del mes de abril) y
se generaron series con 1 hasta 12 datos faltantes de forma
aleatoria. La interpolación se realizó mediante MATLAB
versión 7.10.0.499 (R2010a).
Para determinar diferencias entre los valores interpolados
y los reales se calculó los errores mediante la ecuación 3:
(3)
El análisis estadístico se realizó median-
te SPSS. Debido a que los datos no están
distribuidos normalmente se empleó el
test de Wilcoxon para dos muestras re-
lacionadas (8) al 95% de confiabilidad,
ecuación 4:
(4)
Donde W es la mínima suma de rangos
entre la suma de rangos de las diferen-
cias positivas y la suma de rangos de las
diferencias negativas y n el número de
datos.
RESULTADOS
Figura 1: Interpolación por hora con
1 dato faltante.
La Figura 1 muestra los datos reales e in-
terpolados de velocidad de viento con un
dato faltante, se observa en el intervalo
de 10:00 a 13:00 horas diferencia entre
las curvas. El spline cúbico se aproxi-
ma de mejor forma a la curva original,
mientras que por mínimos cuadrados
presenta concavidad. En el intervalo de
21:00 a 23:00 horas el spline cúbico se
aleja de la curva original, se puede notar
la suavidad del spline cúbico en toda la
curva.
X
k
t =
σ
k
6
t
k+1
-t
3
h
k
-h
k
t
k+1
-t +
σ
k+1
6
t-t
k
3
h
k
-h
k
t-t
k
+ y
k
(t
k+1
-t)
h
k
+y
k+1
(t-t
k
)
h
k
"
−
"
&
'
"()
=
()*+
−
-*+-.+*/0
()*+
=
−
( + 1)
4
( + 1)(2 + 1)
24
ISSN 1390-5740 Número 17 Vol. 1 (2017)
ISSN 2477-9105
65
Figura 2: Interpolación por hora con
1 hasta 6 datos faltantes.
La Figura 2 muestra las curvas de los
datos originales y las interpolaciones de
velocidad de viento con 1 hasta 6 datos
faltantes. Se puede observar la variación
del spline cúbico al inicio y final de la
curva, mientras que en el intervalo de
10:00 a 13:00 horas se aproxima a la ori-
ginal. Por mínimos cuadrados presenta
variación al inicio y levemente al final de
la función, mientras que en dicho inter-
valo se aleja de la curva original.
Figura 3: Interpolación por hora con
1 hasta 10 datos faltantes.
La Figura 3 muestra las curvas de los
datos originales de velocidad de viento
y las interpolaciones por spline cúbico
y mínimos cuadrados con 1 a 10 datos
faltantes. La curva spline se aleja de la
función original al inicio y levemente
al final; en el intervalo de 0:00 a 3:00
horas cae notoriamente con una diferencia máxima de
13,41m/h en relación a la curva por mínimos cuadrados.
Figura 4: Interpolación por minuto con
1 dato faltante.
La Figura 4 muestra los datos originales e interpolados
por minuto con 1 dato faltante. Se puede observar inter-
valos donde las curvas son similares y cortos intervalos
de tiempo donde las curvas se alejan de la original.
Figura 5: Interpolación por minuto con
1 hasta 6 datos faltantes
La Figura 5 muestra las curvas de las interpolaciones de
1 hasta 6 datos faltantes, se observa notables variaciones
del spline cúbico y mínimos cuadrados en los intervalos
de 60 a 90 min (01:00 a 01:18) y de 540 a 570 min (09:00
a 09:30).
Haro, Escudero
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eferencias
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Figura 6: Interpolación por minuto con
1 hasta 11 datos faltantes
La Figura 6 muestra los datos originales e interpolados
hasta 11 datos faltantes. La velocidad de viento interpola-
da mediante spline cúbico cae notoriamente a partir de los
1200 a 1300 min (20:00 a 21:40), mientras que la curva por
mínimos cuadrados muestra variación aproximadamente
en el intervalo de 700 a 900 min (11:40 a 15:00).
CONCLUSIONES
El análisis mostró un 0,66% de error cuando los datos fal-
tantes son pocos y su distribución es dispersa en la serie,
caso contrario alcanzan errores de hasta el 100%.
Con el test de Wilcoxon, en la interpola-
ción por hora, con spline cúbico se halla-
ron valores de p iguales a 0,001 y 0,015; y
con mínimos cuadrados de 0,010 y 0,023,
lo cual indica una diferencia significativa
entre los datos interpolados y los reales en
las series de 11 y 12 datos faltantes. La in-
terpolación con spline cúbico mostró di-
ferencias significativas cuando el número
de datos faltantes se incrementan al inicio
y final de la serie, mientras que el método
por mínimos cuadrados cuando la distri-
bución de los datos faltantes es dispersa.
En la interpolación por minuto, se halla-
ron valores de p iguales a 0,016, 0,010 y
0,002 con spline cúbico en las series de 9,
10 y 11 datos faltantes; mientras que con
mínimos cuadrados la prueba no mos-
tró diferencia significativa, por lo que, se
concluye que éste último método aproxi-
ma de mejor forma los datos faltantes en
intervalos de tiempo por minuto.
AGRADECIMIENTOS
Al Centro de Investigaciones de Energía
Alternativa y Ambiente de la ESPOCH,
Facultad de Ciencias.
1. Guevara J. Cuantificación del perfil del viento hasta 100m de altura desde la superficie y su incidencia
en la climatología eólica. Terra Nueva Etapa. 2013 julio-diciembre; XXIX(46):81.
2. Infante S, Ortega J, Cedeño F. Estimación de datos faltantes en estaciones meteorológicas de Vene-
zuela vía un modelo de redes neuronales. Revista de Climatología. 2008 Agosto; 8:51-52.
3. Álvarez O, Montaño T, Quentin EMJ, Solano J. Homogeneización de series de velocidad del viento
mensual en las estaciones meteorológicas del INAMHI en Loja, Ecuador. Revista de Climatología. 2013;
13:36.
4. Quintero E, Ardila W, Gallego H. Interfaz gráfica para la interpolación de datos a través de splines
cúbicos. Scientia Et Technica. 2010; XVI(44):195.
5. Escudero A, Reclade C, Haro S, Meneses A. Spline cúbico para el tratamiento funcional de la radia-
ción solar global. Información tecnológica. 2016; 27:156.
6. Chapra S, Canale, Raymond. In F. H, editor. Métodos numéricos para ingenieros. Mexico: Mc-
Graw-Hill; 2008.p. 498-532.
7. Araújo A, Melo G, de Medeiros A, dos Santos M. Simulación de la producción de energía eléctrica con
aerogeneradores de pequeño tamaño. Información Tecnológica. 2009; 20:37.
8. Álvarez R. Estadística multivariante y no paramétrica con SPSS. 3rd ed. Díaz, editor. España; 1995.p.
305-380.
ISSN 1390-5740 Número 17 Vol. 1 (2017)
ISSN 2477-9105