R
esumen
4
ISSN 2477-9105 Número 22 Vol. 2 (2019)
DESARROLLO DE UNA FUNCIÓN EN MATLAB PARA EL CAMBIO DE
BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL
Development of a function in MATLAB for the change of basis of a Vector Space
Francisco Carreras García
Facultad de Ciencia/Escuela de Física y Matemática, Escuela Superior Politécnica de Chimborazo
(ESPOCH), Riobamba (Ecuador)
francisco.carreras@espoch.edu.ec
A
bstract
In this work we develop a function in MATLAB for the calculation of change of basis in a Vector
Space, this is a fundamental issue in a Linear Algebra course that due to its complexity we must
say that little attention has been paid in education research math. In the change of basis due to
the calculation, which is often quite tedious, only examples in R2 are made in the classroom and
with the function "cbase2 (A, B)" that we have developed to change from one basis to another, the
dimension of the Vector Space is not a restriction. It shows the versatility of MATLAB to make
calculations to easily check the results obtained manually in the example 2. We can conclude that
this function will allow to lighten the calculations in the classroom and it would be good to do a
new investigation to check its versatility in a Linear Algebra course.
keywords: Linear Algebra, Vector Space, Change of basis, MATLAB
En este trabajo desarrollamos una función en MATLAB para el cálculo del cambio de base en un
Espacio Vectorial, este es un tema fundamental en un curso de Algebra Lineal que debido a su
complejidad debemos decir que se le ha prestado poca atención en la investigación en educación
matemática. En el cambio de base por ser el cálculo muchas veces bastante tedioso, solo se hacen
en el aula de clase ejemplos en R2 y con la función “cbase2(A,B)” que hemos desarrollado para
cambiar de una base a otra, la dimensión del Espacio Vectorial no es una restricción. Se muestra la
versatilidad de MATLAB para hacer cálculos para comprobar fácilmente los resultados obtenidos
de forma manual en el ejemplo 2. Podemos concluir que esta función permitirá aligerar los cálculos
en el aula de clase y sería bueno hacer una nueva investigación para comprobar su versatilidad en
un curso de Algebra Lineal.
Palabras claves: Algebra Lineal, Espacio Vectorial, Cambio de base, MATLAB.
Fecha de recepción: 06-08-2018 Fecha de aceptación: 17-06-2019
I. INTRODUCCIÓN
El estudio y la enseñanza del Algebra Lineal utilizando
herramientas tecnológicas ha sido poco aprovechado
por que los conceptos, en su mayoría, son muy teóricos.
Sin embargo, tenemos conceptos como las matrices, sis-
temas de ecuaciones, autovalores que necesitan, según
la dimensión de los mismos, un cálculo mas laborioso
y en algunos casos extenso, lo cual si se
hace sin el uso de la tecnología puede
llevar al aburrimiento del estudiante
y por lo tanto la falta de interés en su
aprendizaje.
Por este último motivo es que el obje-
tivo de este artículo es desarrollar una
5
función en MATLAB para el cálculo de
la Matriz de cambio de base de un Es-
pacio Vectorial, ya que este tema no es
sencillo de enseñar y crea cierta dicul-
tad en el estudiante para su aprendizaje.
Hemos utilizado la versión R2015a de
MATLAB y programado en dicho sof-
tware debido a la utilidad que tiene este
lenguaje en las carreras de Ingeniería
y a la facilidad para programar por la
gran cantidad de funciones internas
que reducen la programación. También,
de alguna forma se quiere motivar a los
estudiantes para que puedan desarro-
llar otras funciones que les ayuden en
los cálculos que tengan que hacer en las
diferentes asignaturas de matemáticas,
así como mostrar a los docentes que de-
sarrollando estas funciones pueden me-
jorar el proceso de enseñanza-aprendi-
zaje en los conceptos matemáticos que
requieran de cálculos que harían su en-
tendimiento algo confuso.
El concepto de cambio de base no es fá-
cil de explicar y su cálculo es bastante
tedioso debido a la dimensión que ten-
ga la matriz del Espacio Vectorial, sin
embargo con la función que hemos de-
sarrollado "cbase2(A, B)" mostramos
la facilidad del computo realizado en
MATLAB que el ejemplo que se pre-
senta donde el cálculo manual es algo
largo con la aplicación de la función el
resultado es inmediato pudiéndose de
alguna manera extender a Matrices de
cualquier dimensión, es decir, a Espa-
cios Vectoriales de mayor dimensión.
De igual forma la comprobación de los
resultados resultan bastante fáciles de
hacer utilizando el MATLAB.
II. MATERIALES Y MÉTODOS
LA ENSEÑANZA DEL ALGEBRA LI-
NEAL
El Algebra Lineal actualmente es uno de
los principales temas de estudio en los
currículos de las Ingenierías, sin embar-
Carreras
go, no se le presta el interés que el tema tiene. El Alge-
bra Lineal es una rama de las matemáticas que estudia
diferentes conceptos como vectores, matrices, sistemas
de ecuaciones, transformaciones lineales, espacios vecto-
riales y las diversas propiedades que cada concepto com-
prenda. Dentro de los espacios vectoriales tenemos con-
ceptos que son bastante abstractos como el de subespacio,
las bases, las transformaciones lineales, los autovalores y
los autovectores. El Algebra Lineal ha cobrado una mayor
importancia con el desarrollo de las computadoras por-
que permiten hacer un número mayor de operaciones.
Por lo general, la mayoría de las ciencias básicas y la com-
putación requieren de los fundamentos que conforman el
Algebra Lineal.
Una de las aplicaciones del Algebra Lineal la encontra-
mos en el buscador Google [15], quien subraya que el éxi-
to de Google se debe a un algoritmo llamado “Page Rank”
que tiene mucho que ver con el Algebra Lineal. De igual
forma el formato JPEG, de una imagen digital es una ma-
triz, se indica en [15] que en el formato JPEG se divide
la imagen en bloques 8x8 y se somete cada bloque a una
transformación matricial ortogonal.
En 1997 Dubinsky [3] publicó un artículo donde adver-
tía que las dicultades que tienen los estudiantes con los
conceptos de Algebra Lineal no pueden y no deben evi-
tarse concentrándose en los aspectos computacionales de
esta materia y eludiendo la abstracción, sin embargo, es
de hacer notar que el aligerar los cálculos que se deben
realizar permite dedicar una mayor cantidad de tiempo al
razonamiento abstracto de los problemas.
Un concepto difícil de enseñar es el de base de un Espacio
Vectorial, para el cual la investigación en educación ma-
temática le ha dedicado poca atención [3]. Sin embargo,
el aprendizaje de este concepto es fundamental en la es-
tructura de los Espacios Vectoriales y se relaciona direc-
tamente con otros conceptos del Algebra Lineal como las
Transformaciones Lineales.
Tratando de resaltar la dicultad que presenta el concepto
de base, Oktac y Trigueros [11] señalan que aun cuan-
do los estudiantes intentan articular las propiedades del
concepto de base, no son capaces de vericar cuando un
conjunto es base de un Espacio Vectorial, ni de coordinar
los elementos conceptuales involucrados en su construc-
ción. Esto nos hace pensar que al introducir el concepto
de cambio de base presentará una mayor complejidad la
realización de los cálculos correspondientes.
6
ISSN 2477-9105 Número 22 Vol. 2 (2019)
les ha permitido llegar al final en la reso-
lución de muchos problemas.
Nosotros hemos escogido MATLAB
para el desarrollo de una función para el
cálculo de la matriz del cambio de base,
porque el mismo es un programa dise-
ñado para el uso de vectores y matrices,
y ha desarrollado algunos algoritmos
internos que realizan los cálculos de al-
gunos conceptos del Algebra Lineal, por
ejemplo: el determinante de una matriz
(det(A)), la inversa de una matriz (in-
v(A)), el cálculo de los autovalores y au-
tovectores y otros.
Por otra parte, MATLAB es un progra-
ma versátil y fácil de aprender, también
nos permite establecer un balance entre
la teoría y la práctica. Los estudiantes
pueden aprender los conceptos teóricos
en el aula de clase y luego pueden imple-
mentar y probar con MATLAB los co-
nocimientos adquiridos. Muchas de las
funciones necesarias para implementar
los conceptos son funciones internas del
programa y pueden ser llamadas desde
el script y no tienen que implementarlas
ellos mismos, pero en este último caso
también se pueden construir algunas
funciones por la facilidad de su lenguaje
dinámico de programación.
EL CONCEPTO DE CAMBIO DE
BASE
El cambio de base es un concepto funda-
mental en la teoría de los espacios vec-
toriales, ya que involucra los conceptos
de independencia lineal y combinación
lineal. Comenzaremos viendo la defini-
ción de Espacio Vectorial, según [6]
Sea (K,+, .) un cuerpo. Sea V un conjun-
to no vacío, sea “+” una operación en V
y sea “.” una acción de K en V. Se dice
que (V,+, .) es un K-espacio vectorial si se
cumplen las siguientes condiciones:
i. (V,+) es un grupo abeliano
ii. La acción “.”: K x V → V satisface:
Una gran cantidad de procedimientos de Algebra Lineal
necesitan de cálculos largos y en algunos casos tediosos,
tales como la inversa de una matriz para lo cual se usa el
método de Gauss-Jordan, el cual también se puede utili-
zar para resolver un sistema de ecuaciones, sin embargo,
para este último muchas veces, por la reducción de los
cálculos, se usa el método de eliminación Gaussiana o
método de Gauss. Otros procedimientos para los cual es
difícil realizar las operaciones es el cálculo de autovalores
y autovectores.
Por el motivo anterior es que se han desarrollado una se-
rie de programas comerciales como MATLAB, MAPLE,
DERIVE y de software libre como GEOGEBRA, SAGE,
que se utilizan para aligerar los cálculos en la enseñanza
de las matemáticas y que encuadran en los denomina-
dos Sistemas de Cálculo Algebraico (SCA). Sin embargo,
aunque con algunos se puede reducir una matriz aplican-
do el método de Gauss-Jordan (DERIVE) y con otros se
puede calcular el polinomio característico y los autovalo-
res y autovectores (SAGE), ninguno de ellos tiene algu-
na función interna que permita el cambio de base de un
Espacio Vectorial.
Las posibilidades simbólicas, numéricas y gráficas que
ofrecen estos programas están provocando numerosos
cambios en la enseñanza y aprendizaje de esta disciplina
[8]. Según Guzmán [5] el uso de los SCA en el aula per-
mite prescindir del esfuerzo rutinario de cálculo y esto
puede favorecer a que el estudiante se dedique más a la
exploración y el razonamiento de los problemas matemá-
ticos que se le presentan.
El uso de los SCA está basado en la metodología: la cons-
trucción del conocimiento matemático por medio de la ex-
ploración y la experimentación. Esta es una metodología
basada en la adquisición de aprendizajes por medio de
la experimentación, la exploración y la observación del
alumno en base a unos conocimientos previos y denomi-
nada aprendizaje significativo [1].
Una experiencia positiva ha tenido [12] al utilizar el pro-
grama DERIVE en la enseñanza de Algebra Lineal, quien
señala que el programa DERIVE ha permitido que los
alumnos realicen con menos esfuerzo los cálculos repeti-
tivos y rutinarios, así como no ha generado barreras adi-
cionales para el aprendizaje de los principales contenidos
de Algebra Lineal. Por otra parte, [12] también señala
que dicho programa ha sido un elemento motivador para
el aprendizaje porque les ha facilitado el cálculo, lo cual
7
tales que
vv vv
nn
11 22
. El vector
12
,,..,
n
n
K
se llama vector coordenadas de v en
la base B y se denota por
v
B
n
1
2
.
Ejemplo 1
Sea la base
B
6
3
3
4
1
3
5
5
2
,,
y consideremos el vec-
tor
v
4
9
5
al hacer la combinación lineal tenemos
v
4
9
5
1
6
3
3
2
4
1
3
2
5
5
22
1
2
2
, v
B
.(1)
Ya al saber cómo se escribe el vector coordenado respecto
a una base podemos establecer la matriz del cambio de
base o matriz de transición de una base a otra [7]. Para
ello supongamos que tenemos las bases
Bvvv
n112
,,...,
y
Bwww
n212
,,,
del espacio n-dimensional V.
Ahora consideremos un vector
vV�∈
y escribimos el vec-
tor coordenado respecto a la base
B
2
vw wwv
nn
B
n
11 22
1
2
2
.
.
Entonces
vwww
ww ww
B
nn
B
nn
B
B
1
1
1
1
11 22
11 22 11 2
w
ww
B
nn
B
2
1
1
...
Ahora escribamos al vector
w
j
en las coordenadas res-
a)
...
;,
vw vw
KvwV
b)
...
,;
vvv
KvV
c)
1.vv
vV
d)
.. ..
,;
vv
KvV
Siguiendo al mismo autor [6] tenemos la
definición del concepto de base
Sea V un K-espacio vectorial. Una fami-
lia
v
I
se llama una base del espacio
vectorial V si
v
I
es una familia li-
nealmente independiente de V y que ge-
nera a V.
La propiedad fundamental del concepto
de base es que cualquier vector del es-
pacio vectorial se puede escribir como
combinación lineal de los elementos de
la base, así
sea
v unabasedeV
i
�� ��
, para cada
vV∈
existeKtal que vv
i
iI
ii
���� ��
Esta propiedad nos permite escribir
cada uno de los vectores en función de
los vectores de la base y el vector que se
forma con los escalares de la combina-
ción lineal se llama vector coordenado
respecto a la base correspondiente.
De igual manera definimos lo que es la
coordenada de un vector en una base de-
terminada
Sea V un K-espacio vecto-
rial de dimensión finita y sea
B =
vv v
n12
,,..,
una base de V. Dado
vV ,
existen únicos
12
,,..,
n
K
Carreras
8
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pecto a la base
B
1
como
w
b
b
b
j
B
j
j
nj
1
1
2
.
.
Entonces
v
b
b
b
b
b
b
B
nn
1
1
11
21
1
2
12
22
2
.
.
.
.
... .
.
...
n
n
n
nn
n
b
b
b
bb b
b
1
2
11 12 1
21
bbb
bb b
n
nn nn n
22 2
12
1
2
...
....
....
...
.
.
vPv
B
BB
B
1
21
2
(2)
donde
P
bb b
bb b
bb b
B
n
n
nn nn
B
12
11 12 1
21 22 2
12
...
...
....
....
...
ww w
BB
n
B
12
11
1
...
es la matriz del cambio de la base
B
2
a la base
B
1
.
Ejemplo 2
Sean
Bvvv
11
23
,,
y
Bwww
21
23
,,
bases del espa-
cio vectorial
R
3
, donde
vv v
w
123
1
2
0
1
1
2
0
1
1
1
6
3
3
,,,
,,ww
23
4
1
3
5
5
2
Ahora calculamos la matriz de cambio de base
P
BB
21
, para
ello buscamos el vector coordenado para cada uno de los
vectores
w
i
respecto de la base
B
1
. Así, resolvemos el sis-
tema de ecuaciones
wv
iijj
1
3
para
cada uno de los
vectores.
Esto es
211
021
101
6
3
3
211
02
11
12
13
,
11
101
4
1
3
211
021
10
21
22
23
,
11
5
5
2
31
32
33
lo cual nos da los siguientes vectores
coordenados
ww w
BB
B
12 3
11
1
2
1
1
2
1
1
1
2
1
,,
y formamos la matriz de cambio de base
P
BB
21
221
112
111
.
Consideremos el vector
v
4
9
5
, del
ejemplo 1, donde sus coordenadas res-
pecto a la base
B
2
es
v
B
2
1
2
2
y
para determinar sus coordenadas res-
pecto a la base
B
1
aplicamos la ecuación
señalada en (2), es decir,
vPv
B
BB
B
1
21
2
221
112
111
1
2
2
4
5
1
Ahora podemos comprobar utilizando
los vectores de la base
B
1
que
v
4
2
0
1
5
1
2
0
1
1
1
1
4
9
5
.
9
convierten a columna utilizando la transpuesta de una
matriz.
Ahora utilizando las bases del ejemplo 2 establecimos la
rutina correspondiente y mostramos los resultados en
MATLAB, en donde introducimos la matriz
B
1
211
021
101
denotada por B1 y la matriz
B
2
6
3
3
4
1
3
5
5
2
denotada por B2, calculamos la matriz
del cambio de base de
B
2
a
B
1
denotada por P21, como
se ve en la Figura 2.
Carreras
De esta forma, podemos pasar de una
base a la otra y viceversa, eso nos mues-
tra que la matriz de cambio de base de la
base
B
1
a la base
B
2
se puede construir
de la misma forma o mediante la inversa
de la matriz de cambo de base de la base
B
2
a la base
B
1
. Así
PP
BB BB
12 21
1
(3)
Ejemplo 3
Sea la matriz de cambio de base de
B
2
a
B
1
del ejemplo anterior. Podemos com-
probar que
P
BB
21
1
es la matriz de cam-
bio de base de
B
1
a
B
2
, ya que
Pv
BB
B
21
1
1
3
2
1
2
5
2
1
2
1
2
3
2
10 2
4
5
1
1
2
2
2
v
B
III. RESULTADOS
DESARROLLO DE LA FUNCIÓN
CAMBIO DE BASE EN MATLAB
Para construir la función de cambio de
base utilizamos el programa de MAT-
LAB por la ventaja que tiene en sus fun-
ciones internas como, por ejemplo, la
función “rref(A)” que permite escalo-
nar la matriz A y la cual utilizamos para
la obtención de las coordenadas de un
vector respecto de una base cualquiera.
Primero veremos en la Figura 1, la ruti-
na que presenta la función que creamos
“cbase2(A,B)” que determina la matriz
del cambio de base de la base A a la base
B. Puesto que las matrices en MATLAB
se introducen como vectores fila, debe-
mos tener presente que las matrices que
representan las bases serán introducidas
en filas y en la rutina del programa se
Figura 2
Figura 1
10
ISSN 2477-9105 Número 22 Vol. 2 (2019)
Introducimos el vector
v
4
9
5
y calculamos las com-
ponentes del vector v respecto a la base
B
2
,
v
B
2
que
denotamos por C2 y las componentes del vector v respec-
to a la base
B
1
,
v
B
1
que denotamos por E2.
Luego multiplicamos la matriz P21 por el vector C2 y ve-
mos que el resultado, indicado con W, es el vector E2,
como debería de ser el resultado; de igual forma para
comprobar el resultado multiplicamos la matriz de la
base
B
1
por el vector resultante W y obtenemos nuestro
vector original v.
Para mostrar la utilidad con matrices de mayor orden,
consideremos las bases B1 y B2 de
R
5
mostradas en la Fi-
gura 3 del ejemplo 4 y calculamos la matriz de cambio de
base de B1 a B2 que denotamos con P12, utilizando la
función desarrollada, y vemos que sin ningún problema
MATLAB calcula una matriz de cambio de base P12 de
dimensión 5x5.
Ejemplo 4
De igual forma, vemos que la función opera con bases de
números complejos, ya que MATLAB permite las opera-
ciones con dichos números dentro de su estructura ma-
tricial.
En el ejemplo 5 consideraremos dos bases C1 y C2 con
elementos dentro del campo de los números complejos
(¢). Calculamos la matriz¢ de cambio de base de C2 a C1
y la denotamos por P21 y vemos que tenemos una matriz
3x3 con valores complejos. Para comprobar el resultado
tomamos un vector A en la base C1 y aplicamos la matriz
P21 para obtener el vector K en la base C2.
Luego buscamos la inversa de P21, se-
gún (3), que es la matriz del cambio de
base de C1 a C2 y al multiplicar la inver-
sa por el vector K obtenemos el vector
L que es el mismo vector A. Con esto
se comprueba que la función “cbase2”
también trabaja dentro del campo de los
números complejos.
Ejemplo 5
IV. CONCLUSIONES
Luego de realizada esta función en
MATLAB, vemos que se pueden desa-
rrollar funciones como la que hemos
presentado para resolver cálculos que en
Algebra Lineal pueden ser tediosos y lar-
gos. Además, en MATLAB, la compro-
bación de los resultados, utilizando estas
funciones, se convierte en una tarea fácil
y sencilla debido a la construcción vec-
torial de sus componentes y la facilidad
de la programación que no presenta res-
tricciones en la dimensión que tenga el
Espacio Vectorial.
Podemos señalar que la función desa-
rrollada se utiliza para matrices de or-
den n > 3, como para matrices que están
en el campo de los números complejos,
como se muestra en los ejemplos 4 y 5.
También podemos decir que, en el aula
Figura 3
Figura 4
11
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2009. España.
R
eferencias
de clase, la comprobación resulta ade-
cuada para el estudiante por no tener
que hacer unos cálculos largos y además
puede realizar varios ejemplos en corto
tiempo, incluso con matrices de mayor
orden.
Para investigaciones futuras debo sugerir que esta fun-
ción se aplique en el aula para ver la reacción de los es-
tudiantes ante la facilidad de cálculo que se obtiene con
el uso del MATLAB, así como se podría utilizar el pro-
grama de MATLAB para ver su utilidad en el aula en un
curso de Algebra Lineal.
Carreras